lunes, 11 de abril de 2011

Los Cuadriláteros

Definición :

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Los lados de un cuadrilátero pueden ser consecutivos u opuestos. De acuerdo a la igualdad o al paralelismo de sus lados podemos clasificarlos en:


Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:

Cuadrado

Cuadrado
Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos.

Rectángulo

Rectángulo
Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos.

Rombo

Rombo
Tiene los cuatro lados iguales.

Romboide

Romboide
Tiene lados iguales dos a dos.

Trapecios

Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en:

Trapecio rectángulo

Trapecio rectángulo
Tiene un ángulo recto.

Trapecio isósceles

Trapecio isóceles
Tiene dos lados no paralelos iguales.

Trapecio escaleno

Trapecio escaleno
No tiene ningún lado igual ni ángulo recto.

Trapezoides

Trapezoide
Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo.


Propiedades de los cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo. El cuadrilátero es una figura geométrica que tiene 4 lados, los cuales son desiguales.

Respecto conTipoDescripción
LadoEquilateroTodos sus lados tienen la misma longitud
IsóscelesÚnicamente dos de sus lados tienen la misma longitud
EscalenoTodos sus lados tienen distinta longitud
ÁnguloRectánguloTodos sus ángulos son rectos
OblicuánguloNo todos sus ángulos son rectos
ParalelismoLos paralelogramos tienen dos pares de lados paralelos.
TrapecioTiene un par de lados paralelos y otros dos no paralelos
TrapezoideNo hay paralelismo entre ninguno de sus lados asi que se denomina trapecio.


EJERCICIOS( valor de 20 puntos) en el cuaderno pasarlo
1-Construir los siguientes cuadriláteros


b) Un rectángulo de lados 10 y 7 unidades de longitud.

c) Un cuadrado de lado 8 unidades de longitud. Comprueba la medida de las diagonales.

d) Un cuadrado de lado 12 unidades de longitud. Comprueba la medida de las diagonales.

e) Un trapecio rectángulo cuyos lados paralelos midan 8 y 13 unidades de longitud y su lado contiguo a los ángulos rectos mida 6 unidades de longitud.

f) Un trapecio rectángulo cuyos lados paralelos midan 4 y 10 unidades de longitud y su lado contiguo a los ángulos rectos mida 5 unidades de longitud.

g) Un trapecio isósceles cuyos lados paralelos midan 8 y 13 unidades de longitud y sus lados no paralelos midan 6 unidades de longitud.

h) Un trapecio isósceles cuyos lados paralelos midan 4 y 10 unidades de longitud y sus lados no paralelos midan 5 unidades de longitud.

i) Un trapecio escaleno cuyos lados paralelos midan 8 y 13 unidades de longitud y sus lados no paralelos midan 5 y 7 unidades de longitud.


2-Calcula el área de los siguientes trapecios con la formula

1. bases 7 y 10 y altura 8 unidades de longitud.areatrapecio.gif (1360 bytes)

2. bases 5.5 y 7.8 altura 10.1 unidades de longitud.

3. bases 21.8 y 20.9 altura 9.5 unidades de longitud.

3-Calcula el área de los rombos cuyas diagonales miden:

1. 7 y 10arearombo.gif (1235 bytes)

2. 5.5 y 7.8

3. Calcula, aplicando el teorema de Pitágoras, la medida del lado del rombo.


4-Calcula y escribe en tu cuaderno el área de los rectángulos en los siguientes casos:

1. b= 5; h=4

2. b= 7; h=3.2 A=bxh

3. b= 16; h=8

4. b= 10; h=10

5-Escribe sobre la línea el nombre del cuadrilátero que cumple con la definición.

1.- Paralelogramo que tiene sus lados y sus ángulos congruentes: _____________

2.- Paralelogramo que tiene sus lados congruentes: _____________

3.- Paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos congruentes: _____________

4.- Cuadrilátero que sólo tiene dos lados paralelos: _____________

5.- Cuadrilátero que no tiene lados opuestos paralelos: _____________

6.- Paralelogramo cuyos lados y ángulos contiguos no son congruentes: _____________

7.- Trapecio cuyos lados no paralelos son congruentes: _____________

8.- Trapecio que no tiene congruencia en sus lados: _____________

9.- Trapecio que se llama así por tener un ángulo de 90°: _____________

sobre el teorema de Pitagoras

Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

6-Calculamos la longitud de una escalera, sabiendo que está apoyada en la pared a una distancia de 1.80 m y alcanza una altura de 7 m.

Longitud de la escalera

7-Una antena está sujeta al suelo por dos cables que forman un ángulo recto de longitudes 27 y 36 cm. ¿Cuál es la distancia que separa los dos puntos de unión de los cables con el suelo?

El cable

8-Calcul la altura de un triángulo equilátero de lado 10 cm.


Triángulo equilátero

9-EJERCICIOS:

Encontrar lo que se pide:(usa el teorema de pitagoras)

1).- a = ? si b = 5 c = 8

2).- b = ? si a =3 c = 10

3).- c = ? si a = 10 b = 15

4).- a = ? si b = 7 c = 9

5).- b = ? si a = 6 c = 10

6).- c = ? si a = 13 b = 10

7).- a = ? si b =2 c = 10

8).- b = ? si a = 5 c = 15

9).- c = ? si a = 7 b = 8

10).- a = ? si b = 15 c = 20

jueves, 17 de diciembre de 2009

TEOREMA DE PITAGORAS Y SUS APLICACIONES



Aplicaciones del teorema de Pitágora
Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto.
A partir de la expresión general del teorema de Pitágoras, despejamos los catetos b y c:

a 2 = b 2 + c 2 } b 2 = a 2 - c 2 → b = a 2 - c 2 c 2 = a 2 - b 2 → c = a 2 - b 2

Reconocimiento de triángulos rectángulos.

Un triángulo es rectángulo si sus lados verifican la relación del teorema de Pitágoras.

Si a2 ≠ b2 + c2, entonces puede ocurrir que:
aplicaciones del teorema de Pitagoras


TEOREMA DE PITAGORAS.- APLICACIONES

TEOREMA DE PITAGORAS


Sin duda el Teorema de Pitágoras no es solo el más conocido sino que también es el más usado desde el punto de vista de su aplicación de análisis geométrico en diferentes áreas del conocimiento, de acuerdo a su contenido teórico y practico como herramienta para calcular: ángulos, áreas, distancias o alturas y entre otros fenómenos físicos.
Pitágoras, filosofo y matemático griego descubrió una interesante relación entre los lados del triangulo rectángulo, llegando a comprobar que: el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa del triangulo rectángulo; es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Teorema de Pitágoras.- Definición
Dado un triángulo recto (es decir, un triángulo donde alguno de sus ángulos es de 90º), donde a y b son las medidas de los catetos (lados contiguos al vértice de 90º), y c es la medida de la hipotenusa (lado opuesto al vértice de 90º). Entonces se verifica que:


De acuerdo a las relaciones de las ecuaciones del Teorema de Pitágoras, tenemos el siguiente resumen:



DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE PITAGORAS:
Aquí expongo una de las demostraciones más sencillas y fáciles de entender que existen sobre este teorema. Además es una demostración fácilmente realizable recortando y colocando las figuras de los dos cuadrados adecuadamente, y así hacer que los alumnos observen la veracidad de esta propiedad.
EN LA FIGURA 1:
1. La figura interior es un cuadrado de lado a, luego su área es: a²
2. Dibujamos en las cuatro esquinas de la figura 1, cuatro triángulos rectángulos iguales de lados: a (hipotenusa), b y c (catetos)
EN LA FIGURA 2:
3. Hemos trasladado los cuatro triángulos rectángulos de la figura 1, según los colores amarillo y rojo
4. Las figuras no ocupadas por estos cuatros triángulos, son dos cuadrados de áreas: b² y c²

CONCLUSION:
1. Las cuatro áreas de los triángulos rectángulos son iguales.
2. El área del cuadrado a2 es igual a los otros dos cuadrados de áreas: b² y c².



a2 > b2 + c2, el área del cuadrado sobre la hipotenusa es mayor que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. El triángulo es obtusángulo.
a2 < b2 + c2, el área del cuadrado sobre la hipotenusa es menor que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. El triángulo es acutángulo.